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In matematica l'espressione funzioni integrali trigonometriche fa riferimento ad una famiglia di funzioni definite mediante integrali di funzioni trigonometriche.

Seno |

Esistono due definizioni del seno integrale:

Si⁡(x)=∫0xsin⁡ttdt{displaystyle operatorname {Si} (x)=int _{0}^{x}{frac {sin t}{t}},dt}

si⁡(x)=−∫x+∞sin⁡ttdt{displaystyle operatorname {si} (x)=-int _{x}^{+infty }{frac {sin t}{t}},dt}

Per definizione Si⁡(x){displaystyle operatorname {Si} (x)} è la primitiva della funzione sinc sin⁡(x)/x{displaystyle sin(x)/x} che si annulla nell'origine, mentre si⁡(x){displaystyle operatorname {si} (x)} è la primitiva che si annulla all'infinito. La loro differenza è data dall'integrale di Dirichlet,

Si⁡(x)−si⁡(x)=∫0∞sin⁡ttdt=π2 .{displaystyle operatorname {Si} (x)-operatorname {si} (x)=int _{0}^{infty }{frac {sin t}{t}},dt={frac {pi }{2}}~.}

Poiché la funzione sinc(x){displaystyle mathrm {sinc} (x)} è una funzione pari e intera (cioè olomorfa nell'intero piano complesso), Si⁡(x){displaystyle operatorname {Si} (x)} è anch'essa intera, dispari e l'integrale nella sua definizione può essere valutato lungo ogni percorso che connette gli estremi.

Se si considera il seno integrale come la convoluzione della funzione sinc con la funzione gradino di Heaviside, ciò corrisponde a troncare la serie di Fourier, ed è pertanto un modo per descrivere il fenomeno di Gibbs.

Coseno |

Vi sono diverse definizioni del coseno integrale:

Ci⁡(x)=−∫x+∞cos⁡ttdt=γ+ln⁡x+∫0xcos⁡t−1tdt{displaystyle operatorname {Ci} (x)=-int _{x}^{+infty }{frac {cos t}{t}},dt=gamma +ln x+int _{0}^{x}{frac {cos t-1}{t}},dt}

Cin⁡(x)=∫0x1−cos⁡ttdt{displaystyle operatorname {Cin} (x)=int _{0}^{x}{frac {1-cos t}{t}},dt}

dove γ{displaystyle gamma } è la costante di Eulero-Mascheroni. Qualche testo usa ci⁡(x){displaystyle operatorname {ci} (x)} invece di Ci⁡(x){displaystyle operatorname {Ci} (x)}.

La funzione Ci⁡(x){displaystyle operatorname {Ci} (x)} è la primitiva di cos⁡(x)/x{displaystyle cos(x)/x} (che si annulla all'infinito). Le due definizioni sono legate dalla relazione:

Cin⁡(x)=γ+ln⁡x−Ci⁡(x){displaystyle operatorname {Cin} (x)=gamma +ln x-operatorname {Ci} (x)}

Ci⁡(x){displaystyle operatorname {Ci} (x)} è una funzione pari intera.

Seno iperbolico |

Il seno iperbolico integrale ha la forma:

Shi⁡(x)=∫0xsinh⁡ttdt=shi⁡(x){displaystyle operatorname {Shi} (x)=int _{0}^{x}{frac {sinh t}{t}},dt=operatorname {shi} (x)}

Shi⁡(x)=∑n=0+∞x2n+1(2n+1)!(2n+1)=x+x33!⋅3+x55!⋅5+x77!⋅7+⋯{displaystyle operatorname {Shi} (x)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}}=x+{frac {x^{3}}{3!cdot 3}}+{frac {x^{5}}{5!cdot 5}}+{frac {x^{7}}{7!cdot 7}}+cdots }

È legata alla precedente funzione seno integrale dalla relazione

Si⁡(ix)=iShi⁡(x).{displaystyle operatorname {Si} (ix)=ioperatorname {Shi} (x).}

Coseno iperbolico |

Il coseno iperbolico integrale è:

Chi⁡(x)=γ+ln⁡x+∫0xcosh⁡t−1tdt(|Arg(x)|<π){displaystyle operatorname {Chi} (x)=gamma +ln x+int _{0}^{x}{frac {cosh t-1}{t}},dtqquad (|{rm {Arg}}(x)|<pi )}

dove γ{displaystyle gamma } è la costante di Eulero-Mascheroni.

Ha come espansione in serie Chi⁡(x)=γ+ln⁡(x)+14x2+196x4+14320x6+1322560x8+136288000x10+O(x12){displaystyle operatorname {Chi} (x)=gamma +ln(x)+{frac {1}{4}}x^{2}+{frac {1}{96}}x^{4}+{frac {1}{4320}}x^{6}+{frac {1}{322560}}x^{8}+{frac {1}{36288000}}x^{10}+O(x^{12})}.

Scrittura alternativa |

Utilizzando le funzioni:

f(x)≡∫0+∞sin⁡(t)t+xdt=∫0+∞e−xtt2+1dt=Ci⁡(x)sin⁡(x)+[π2−Si⁡(x)]cos⁡(x){displaystyle f(x)equiv int _{0}^{+infty }{frac {sin(t)}{t+x}}dt=int _{0}^{+infty }{frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=operatorname {Ci} (x)sin(x)+left[{frac {pi }{2}}-operatorname {Si} (x)right]cos(x)}

g(x)≡∫0+∞cos⁡(t)t+xdt=∫0+∞te−xtt2+1dt=−Ci⁡(x)cos⁡(x)+[π2−Si⁡(x)]sin⁡(x){displaystyle g(x)equiv int _{0}^{+infty }{frac {cos(t)}{t+x}}dt=int _{0}^{+infty }{frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=-operatorname {Ci} (x)cos(x)+left[{frac {pi }{2}}-operatorname {Si} (x)right]sin(x)}

l'integrale trigonometrico può essere riscritto come:^[1]

Si⁡(x)=π2−f(x)cos⁡(x)−g(x)sin⁡(x)Ci⁡(x)=f(x)sin⁡(x)−g(x)cos⁡(x){displaystyle {begin{array}{rcl}operatorname {Si} (x)&=&displaystyle {frac {pi }{2}}-f(x)cos(x)-g(x)sin(x)\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)sin(x)-g(x)cos(x)\end{array}}}

Espansioni |

L'espansione dell'integrale trigonometrico in serie asintotica:

Si⁡(x)=π2−cos⁡xx(1−2!x2+4!x4−6!x6⋯)−sin⁡xx(1x−3!x3+5!x5−7!x7⋯){displaystyle operatorname {Si} (x)={frac {pi }{2}}-{frac {cos x}{x}}left(1-{frac {2!}{x^{2}}}+{frac {4!}{x^{4}}}-{frac {6!}{x^{6}}}cdots right)-{frac {sin x}{x}}left({frac {1}{x}}-{frac {3!}{x^{3}}}+{frac {5!}{x^{5}}}-{frac {7!}{x^{7}}}cdots right)}

Ci⁡(x)=sin⁡xx(1−2!x2+4!x4−6!x6⋯)−cos⁡xx(1x−3!x3+5!x5−7!x7⋯){displaystyle operatorname {Ci} (x)={frac {sin x}{x}}left(1-{frac {2!}{x^{2}}}+{frac {4!}{x^{4}}}-{frac {6!}{x^{6}}}cdots right)-{frac {cos x}{x}}left({frac {1}{x}}-{frac {3!}{x^{3}}}+{frac {5!}{x^{5}}}-{frac {7!}{x^{7}}}cdots right)}

è una serie divergente, utilizzata per valutare l'integrale per Re(x)≫1{displaystyle mathrm {Re} (x)gg 1}.

L'espansione:

Si⁡(x)=∑n=0+∞(−1)nx2n+1(2n+1)(2n+1)!=x−x33!⋅3+x55!⋅5−x77!⋅7±⋯{displaystyle operatorname {Si} (x)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{frac {x^{3}}{3!cdot 3}}+{frac {x^{5}}{5!cdot 5}}-{frac {x^{7}}{7!cdot 7}}pm cdots }

Ci⁡(x)=γ+ln⁡x+∑n=1+∞(−1)nx2n2n(2n)!=γ+ln⁡x−x22!⋅2+x44!⋅4∓⋯{displaystyle operatorname {Ci} (x)=gamma +ln x+sum _{n=1}^{+infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=gamma +ln x-{frac {x^{2}}{2!cdot 2}}+{frac {x^{4}}{4!cdot 4}}mp cdots }

è invece convergente per ogni x∈C{displaystyle xin mathbb {C} }, sebbene per |x|≫1{displaystyle |x|gg 1} la serie converga inizialmente in modo lento, richiedendo molti termini per una stima precisa.

Esponenziale integrale |

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Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione integrale esponenziale.

La funzione integrale esponenziale:

E1⁡(z)=∫1+∞exp⁡(−zt)tdtRe(z)≥0{displaystyle operatorname {E} _{1}(z)=int _{1}^{+infty }{frac {exp(-zt)}{t}},dtqquad mathrm {Re} (z)geq 0}

è strettamente legata con Si⁡(x){displaystyle operatorname {Si} (x)} e Ci⁡(x){displaystyle operatorname {Ci} (x)}:

E1⁡(ix)=i(−π2+Si⁡(x))−Ci⁡(x)=isi⁡(x)−ci⁡(x)x>0{displaystyle operatorname {E} _{1}(ix)=ileft(-{frac {pi }{2}}+operatorname {Si} (x)right)-operatorname {Ci} (x)=ioperatorname {si} (x)-operatorname {ci} (x)qquad x>0}

Note |

Bibliografia |

• (DE) Niels Nielsen (1906): Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten, Teubner


• (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, (Chapter 5)
  


• (EN) Harris, F. E. "Spherical Bessel Expansions of Sine, Cosine, and Exponential Integrals." Appl. Numer. Math. 34, 95-98, 2000.


• (EN) Havil, J. Gamma, Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ. Princeton University Press, pp. 105-106, 2003.

Voci correlate |

• Coseno


• Costante di Eulero-Mascheroni


• Funzione integrale esponenziale


• Funzioni iperboliche


• Seno (matematica)


• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche

Collegamenti esterni |

• (EN) A.B. Ivanov, Integral sine, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.


• (EN) A.B. Ivanov, Integral cosine, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.


• (EN) Eric W. Weisstein, Sine Integral, in MathWorld, Wolfram Research.


• (EN) Eric W. Weisstein, Cosine Integral, in MathWorld, Wolfram Research.


• (EN) Sine Integral Taylor series proof from Dan Sloughter's Difference Equations to Differential Equations.

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V · D · M Funzioni speciali (glossario)

Funzione esponenziale · Logaritmo · Funzioni trigonometriche · Funzioni iperboliche · Funzione gaussiana · Funzione degli errori · Funzione integrale esponenziale · Funzioni integrali trigonometrici · Funzione gamma · Funzione beta di Eulero · Funzione beta di Dirichlet · Funzioni di Bessel · Funzioni di Neumann · Funzioni di Hankel · Funzioni di Airy · Funzioni di Mathieu · Funzioni di Struve · Funzione parabolica del cilindro · Funzione zeta di Riemann · Funzione ellittica · Serie ipergeometrica · Q-serie ipergeometrica · Funzione G di Barnes

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