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In matematica, il criterio di condensazione di Cauchy è un criterio di convergenza per serie, che prende il nome da Augustin-Louis Cauchy. Afferma che, per una successione non negativa e non crescente an{displaystyle a_{n}}, la somma

∑n=1∞an{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}

converge se e solo se converge la somma

∑n=0∞2na2n{displaystyle sum _{n=0}^{infty }2^{n}a_{2^{n}}}

ovvero queste due serie hanno lo stesso carattere. Se entrambe convergono, inoltre, vale la disuguaglianza

∑n=1∞an≤∑n=0∞2na2n≤2∑n=1∞an.{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}leq sum _{n=0}^{infty }2^{n}a_{2^{n}}leq 2sum _{n=1}^{infty }a_{n}.}

Dimostrazione |

Sia an{displaystyle a_{n}} una successione non negativa e non crescente di numeri reali. La dimostrazione si basa sul raccogliere i termini della serie in gruppi di lunghezza 2n{displaystyle 2^{n}}, stimando poi ogni gruppo in modo da passare da una serie all'altra. Se la serie "condensata" converge, allora

∑n=1∞an=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+⋯+a2n+a2n+1+⋯+a2n+1−1+⋯=a1+a2+a3⏟≤a2+a2+a4+a5+a6+a7⏟≤a4+a4+a4+a4+⋯+a2n+a2n+1+⋯+a2n+1−1⏟≤a2n+a2n+⋯+a2n+⋯≤a1+2a2+4a4+⋯+2na2n+⋯=∑n=0∞2na2n.{displaystyle {begin{aligned}sum _{n=1}^{infty }a_{n}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+cdots +a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+cdots +a_{2^{n+1}-1}+cdots \&=a_{1}+underbrace {a_{2}+a_{3}} _{leq a_{2}+a_{2}}+underbrace {a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}} _{leq a_{4}+a_{4}+a_{4}+a_{4}}+cdots +underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+cdots +a_{2^{n+1}-1}} _{leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+cdots +a_{2^{n}}}+cdots \&leq a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+cdots +2^{n}a_{2^{n}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }2^{n}a_{2^{n}}.end{aligned}}}

e quindi converge anche la serie iniziale; è stato sfruttato in maniera essenziale il fatto che la successione è non crescente, e quindi, ogni volta che n<m{displaystyle n<m}, si ha an>am{displaystyle a_{n}>a_{m}} oppure an=am{displaystyle a_{n}=a_{m}}. In maniera simile, possiamo stimare la serie "condensata" come

∑n=0∞2na2n=a1+a2⏟≤a1+a1+a2+a4+a4+a4⏟≤a2+a2+a3+a3+⋯+a2n+a2n+1+⋯+a2n+1⏟≤a2n+a2n+a(2n+1)+a(2n+1)+⋯+a(2n+1−1)+⋯≤a1+a1+a2+a2+a3+a3+⋯+an+an+⋯=2∑n=1∞an.{displaystyle {begin{aligned}sum _{n=0}^{infty }2^{n}a_{2^{n}}&=underbrace {a_{1}+a_{2}} _{leq a_{1}+a_{1}}+underbrace {a_{2}+a_{4}+a_{4}+a_{4}} _{leq a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}}+cdots +underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n+1}}+cdots +a_{2^{n+1}}} _{leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+a_{(2^{n}+1)}+a_{(2^{n}+1)}+cdots +a_{(2^{n+1}-1)}}+cdots \&leq a_{1}+a_{1}+a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}+cdots +a_{n}+a_{n}+cdots =2sum _{n=1}^{infty }a_{n}.end{aligned}}}

e quindi se la serie iniziale converge, allora converge anche la serie "condensata". Attraverso la dimostrazione abbiamo ottenuto anche la stima

∑n=1∞an≤∑n=0∞2na2n≤2∑n=1∞an{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}leq sum _{n=0}^{infty }2^{n}a_{2^{n}}leq 2sum _{n=1}^{infty }a_{n}}.

Generalizzazione |

Una generalizzazione di questo criterio è stata trovata da Schlömilch: sia {an}{displaystyle {a_{n}}} una successione non crescente e positiva, e sia {un}{displaystyle {u_{n}}} una successione strettamente crescente di interi positivi tale che

∃K∈R:|un+1−unun−un−1|≤K,{displaystyle exists Kin mathbb {R} :|{frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}|leq K,}

ossia sia limitata. Allora la serie ∑n=1∞an{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}} converge se e solo se converge

∑n=0∞Δunaun=∑n=0∞(un+1−un)aun{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{Delta u_{n}}a_{u_{n}}=sum _{n=0}^{infty }(u_{n+1}-u_{n})a_{u_{n}}}

Se prendiamo un=2n{displaystyle u_{n}=2^{n}}, si ha Δun=un+1−un=2n{displaystyle Delta u_{n}=u_{n+1}-u_{n}=2^{n}}, riottenendo così il criterio di condensazione di Cauchy come caso particolare.

In generale notiamo che se prendiamo un=kn{displaystyle u_{n}=k^{n}}, con k>1{displaystyle k>1}, allora un{displaystyle u_{n}} soddisfa le condizioni di cui sopra e si ha che ∑n=1∞an{displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}} converge se e solo se converge la serie ∑n=0∞knakn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }k^{n}a_{k^{n}}}

Uso |

Il criterio è specialmente utile nel caso di serie in cui sono presenti dei logaritmi, che vengono "trasformati" attraverso la condensazione in serie armoniche generalizzate, che sono più semplici da trattare. Ad esempio, nel caso della serie

∑n=2∞1n(ln⁡n)a(ln⁡ln⁡n)b{displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {1}{n(ln n)^{a}(ln ln n)^{b}}}}

una prima applicazione del criterio fornisce la serie

∑n=1∞2n2n(ln⁡enln⁡2)a(ln⁡ln⁡enln⁡2)b=∑n=1∞1na(ln⁡2)a(ln⁡n+ln⁡ln⁡2)b{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{n}}{2^{n}(ln e^{nln 2})^{a}(ln ln e^{nln 2})^{b}}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{a}(ln 2)^{a}(ln n+ln ln 2)^{b}}}}

che converge per a>1{displaystyle a>1} e diverge per a<1{displaystyle a<1}; nel caso limite a=1{displaystyle a=1} un'ulteriore applicazione del criterio fornisce (a meno di una costante)

∑n=1∞1nb{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{b}}}}

che converge per b>1{displaystyle b>1} e diverge negli altri casi.

Bibliografia |

• Khoury Bonar (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-745-6.

Collegamenti esterni |

• (EN) Dimostrazione del criterio, su pirate.shu.edu. URL consultato il 21 novembre 2009 (archiviato dall'url originale il 25 luglio 2009).

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