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Il sottogruppo normale è un'importante nozione di algebra, e più precisamente di teoria dei gruppi.

Dato un gruppo G, un sottogruppo K di G è normale (o invariante) se i laterali sinistro e destro di ogni elemento g di G coincidono, ovvero:

gK=Kg{displaystyle gK=Kg}

In questo caso si scrive:

K◃G{displaystyle Ktriangleleft G}.

I sottogruppi normali sono importanti in teoria dei gruppi,
perché se K è un sottogruppo normale di G è possibile definire il
gruppo quoziente G/K.

Definizioni equivalenti |

Esistono numerosi modi equivalenti per definire un sottogruppo normale. Tra questi:

• 
  K è un sottogruppo normale se viene mandato in sé da ogni automorfismo interno:

∀g∈G,k∈Kgkg−1∈K{displaystyle forall gin G,kin Kquad gkg^{-1}in K}

• 
  K è un sottogruppo normale se è chiuso rispetto all'operazione di coniugio
  

Proprietà |

• Se K◃H◃G{displaystyle Ktriangleleft Htriangleleft G}, non è detto che K◃G{displaystyle Ktriangleleft G}. Infatti possono esserci isomorfismi non interni di H{displaystyle H} che sono isomorfismi interni di G{displaystyle G} e che non mandano K{displaystyle K} in sé. Per esempio, nel gruppo alterno A4{displaystyle A_{4}} ci sono tre sottogruppi di ordine 2, e ognuno di essi è normale nell'unico sottogruppo (abeliano) di ordine 4, che è a sua volta normale in A4{displaystyle A_{4}}. Ma i tre sottogruppi di ordine due sono permutati ciclicamente dall'automorfismo interno indotto da ogni elemento di A4{displaystyle A_{4}} di ordine 3, e dunque nessuno di essi è normale in A4{displaystyle A_{4}}.

Se però si aggiunge l'ipotesi che K{displaystyle K} sia caratteristico, in H{displaystyle H}, cioè mandato in sé da ogni automorfismo di H{displaystyle H}, si ha che effettivamente K◃G{displaystyle Ktriangleleft G}.

Esempi |

• In un gruppo abeliano, ogni sottogruppo è normale.


• Il nucleo di un omomorfismo h: G → H è un sottogruppo normale di G.


• I sottogruppi {e} e G (il più piccolo ed il più grande fra i sottogruppi di G) sono sempre normali. Se sono gli unici sottogruppi normali, il gruppo si dice semplice.


• Il gruppo delle traslazioni dello spazio euclideo è un sottogruppo normale del gruppo dei movimenti rigidi dello spazio. Ad esempio, in tre dimensioni: se si ruota, poi si trasla, e infine si ruota nell'altro verso, si ottiene una traslazione (che può essere diversa da quella iniziale).


• L'intersezione di una famiglia di sottogruppi normali è normale.


• L'immagine inversa tramite omomorfismo di un sottogruppo normale è normale. Invece l'immagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo non è necessariamente normale.


• Prodotto di gruppi normali in un prodotto di gruppi è normale.


• Ogni sottogruppo di indice 2 è normale. Più in generale, se l'indice del sottogruppo H{displaystyle H} del gruppo finito G{displaystyle G} è il più piccolo numero primo che divide l'ordine di G{displaystyle G}, allora H{displaystyle H} è un sottogruppo normale di G{displaystyle G}.

Bibliografia |

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.


• Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.


• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.


• Antonio Machì, Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8.


• J.S. Milne, Group theory (PDF), 2012. URL consultato il 22 febbraio 2013.

Voci correlate |

• Ideale (matematica)


• Sottogruppo


• Teoria dei gruppi

Collegamenti esterni |

• (EN) A.L. Shmel'kin, Nilpotent group, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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