Ygthkb

.mw-parser-output .avviso .mbox-text-div>div,.mw-parser-output .avviso .mbox-text-full-div>div{font-size:90%}.mw-parser-output .avviso .mbox-image div{width:52px}.mw-parser-output .avviso .mbox-text-full-div .hide-when-compact{display:block}

Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

Un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità. La definizione e lo studio dei punti di flesso fa largo uso del calcolo infinitesimale e più precisamente del concetto di derivata.

Definizione |

Un punto di flesso è definito per curve piane e funzioni reali (definite in un intervallo) in uno dei modi seguenti:

• un punto di una curva in cui la tangente ad essa attraversa la curva (cioè si incrocia con questa).


• un punto di una curva in cui la concavità cambia. Immaginando un veicolo che corre lungo la curva, è un punto in cui le ruote davanti cambiano direzione (da sinistra a destra, o viceversa).


• un punto (x,y){displaystyle (x,y)} nel grafico di una funzione f(x){displaystyle f(x)} in cui la derivata seconda cambia segno, manifestando un cambio di concavità.

Il grafico di una funzione è un caso particolare di curva. Tutte queste definizioni sono equivalenti se curve e funzioni sono "sufficientemente regolari", ad esempio se sono differenziabili almeno due volte (condizione necessaria perché si possa parlare di "curvatura" e "derivata seconda").

Il flesso può essere ascendente o discendente:

• è ascendente quando la funzione passa sopra la retta individuata dalla derivata nel punto di flesso,


• è discendente quando la funzione passa sotto la retta individuata dalla derivata nel punto di flesso.

Funzioni |

Flessi orizzontali, obliqui e verticali |

Sia (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} un punto di flesso per una funzione f(x){displaystyle f(x)}. Se la tangente nel punto è orizzontale (cioè se f′(x0)=0{displaystyle f'(x_{0})=0}) allora si parla di flesso orizzontale.
Altrimenti si parla di flesso obliquo.

Se la funzione è derivabile due volte in tutti i punti vicini a x0{displaystyle x_{0}}, e la derivata prima f′(x){displaystyle f'(x)} tende a infinito in x0{displaystyle x_{0}}, si parla di "tangente verticale", e anche in questo caso il punto è di flesso se la derivata seconda cambia segno. Si parla di flesso verticale.

Precisazioni |

Il "cambiare segno" della derivata seconda è da intendersi in un intorno: nel caso della funzione, questa ha flesso in x0{displaystyle x_{0}} se esiste un intorno H{displaystyle H} di x0{displaystyle x_{0}} tale che per ogni x{displaystyle x} di H{displaystyle H} con x<x0{displaystyle x<x_{0}} si ha f″(x)>0{displaystyle f''(x)>0} (rispettivamente <0{displaystyle <0}) e
per ogni x{displaystyle x} di H con x>x0{displaystyle x>x_{0}} si ha f″(x)<0{displaystyle f''(x)<0} (rispettivamente >0{displaystyle >0}).

Condizione equivalente (per flessi non verticali) è che la derivata f′(x){displaystyle f'(x)} abbia un massimo oppure un minimo locale in x0{displaystyle x_{0}}.

Metodi risolutivi |

Per verificare analiticamente se una funzione possiede punti di flesso, sotto l'ipotesi di esistenza della derivata seconda, si ricercano innanzitutto i valori di x{displaystyle x} per i quali quest'ultima si annulla:

 f″(x)=0.{displaystyle ~f''(x)=0.}

La condizione che f″(x0)=0{displaystyle f''(x_{0})=0} è necessaria ma non sufficiente a garantire l'esistenza di un flesso in x0{displaystyle x_{0}}, perché la derivata seconda potrebbe non cambiare segno intorno a x0{displaystyle x_{0}}: questo accade se la funzione presenta nel punto un contatto "superiore al secondo ordine" con la propria retta tangente.

Quindi si prosegue nell'analisi verificando che la derivata seconda cambi segno. Questo accade precisamente quando la prima derivata non nulla calcolata nel punto x0{displaystyle x_{0}} successiva alla seconda è una derivata dispari.

Proprietà |

• Un punto di flesso è un punto stazionario se e solo se è orizzontale.


• In un punto di flesso la funzione ammette un "contatto almeno del secondo ordine" con la retta tangente.


• Esistono funzioni che non presentano punti di flesso: ad esempio quelle aventi come diagrammi linee rette, parabole e le funzioni polinomiali date da espressioni come x2k{displaystyle x^{2k}} per k{displaystyle k} intero positivo o da espressioni riconducibili a queste mediante traslazioni, omotetie, ... .

Generalizzazioni |

Caso complesso |

Nel caso di funzioni o curve considerate a variabile complessa, non è possibile dare una definizione del tutto analoga, perché i numeri complessi non hanno un ordinamento, e quindi non ha senso parlare di "cambiamento di segno" della derivata o curvatura.

Per questo motivo solitamente si definisce un punto di flesso per una curva o funzione come un punto in cui la retta tangente ha "molteplicità di intersezione" (cioè "ordine di contatto") con la curva almeno 3. Tale molteplicità è "di solito" 2, quindi i punti di flesso sono punti "eccezionali" della curva.

Voci correlate |

• Punto di sella


• Derivata

Altri progetti |

• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su flesso
  

.mw-parser-output .navbox{border:1px solid #aaa;clear:both;margin:auto;padding:2px;width:100%}.mw-parser-output .navbox th{padding-left:1em;padding-right:1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>tbody>tr:first-child>th{background:#ccf;font-size:90%;width:100%}.mw-parser-output .navbox_navbar{float:left;margin:0;padding:0 10px 0 0;text-align:left;width:6em}.mw-parser-output .navbox_title{font-size:110%}.mw-parser-output .navbox_abovebelow{background:#ddf;font-size:90%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbox_group{background:#ddf;font-size:90%;padding:0 10px;white-space:nowrap}.mw-parser-output .navbox_list{font-size:90%;width:100%}.mw-parser-output .navbox_odd{background:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox_even{background:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox_center{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .navbox_image{padding-left:7px;vertical-align:middle;width:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox .mw-collapsible-toggle{font-weight:normal;text-align:right;width:7em}.mw-parser-output .subnavbox{margin:-3px;width:100%}.mw-parser-output .subnavbox_group{background:#ddf;padding:0 10px}

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1° specie · 2° specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica