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Proiezione stereografica

La proiezione stereografica con l'indicatore di deformazione di Tissot

In geometria e in cartografia per proiezione stereografica si intende la proiezione dei punti sulla superficie di una sfera da un punto N della sfera stessa (che spesso viene chiamato polo Nord della sfera) sopra un piano che è, solitamente, o il piano equatoriale, o il tangente alla sfera nel suo punto (antipodale ad N) chiamato S, polo Sud.

Questa proiezione determina una corrispondenza biunivoca tra i punti della sfera privata di N e i punti del piano. Questa può estendersi ad una corrispondenza biunivoca tra punti della sfera e i punti del piano ampliato con un punto all'infinito: basta far corrispondere a questo il polo Nord.

Questa proiezione associa alle circonferenze ottenute intersecando la sfera con piani paralleli a quello tangente in S delle circonferenze del piano aventi centro in S. Unico punto fisso della proiezione è S, punto limite delle circonferenze precedenti.

In cartografia una proiezione stereografica della Terra è detta polare, equatoriale o obliqua in funzione della scelta del punto di proiezione (un polo, un punto sull'equatore, o altrove).

Definizione |

Panorama con proiezione stereografica della cima Dent de Vaulion nel Canton Vaud, Svizzera

La sfera unitaria nello spazio tridimensionale R³ è l'insieme dei punti (x, y, z) tali che x² + y² + z² = 1. Sia N = (0, 0, 1) il "polo nord", e sia M il resto della sfera. Il piano z = 0 passa per il centro della sfera; l'"equatore" è l'intersezione della sfera con questo piano.

Per ogni punto P su M, esiste un'unica retta passante per N e P, e questa retta interseca il piano z = 0 in un unico punto P'. Si dice proiezione stereografica di P questo punto P' nel piano.

Esprimiamo la proiezione stereografica in formule esplicite. In coordinate cartesiane (x, y, z) sulla sfera e (X, Y) sul piano, la proiezione e la sua inversa sono date dalle formule

(X,Y)=(x1−z,y1−z),{displaystyle (X,Y)=left({frac {x}{1-z}},{frac {y}{1-z}}right),}

(x,y,z)=(2X1+X2+Y2,2Y1+X2+Y2,−1+X2+Y21+X2+Y2).{displaystyle (x,y,z)=left({frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}right).}

Proprietà |

Ipparco di Nicea mostrò che la proiezione stereografica è una proiezione conforme (mantiene gli angoli, cioè ha modulo di deformazione lineare costante e modulo di deformazione angolare nullo) e che l'immagine di una circonferenza può essere solo una retta o una circonferenza.^[1]

Note |

Voci correlate |

• Cartografia


• Proiezione cartografica


• Proiezione conforme


• Sfera di Riemann

Altri progetti |

• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su proiezione stereografica
  

Collegamenti esterni |

• 
  Stereographic Projection in MathWorld
  


• (EN) Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science (DoITPoMS), "The stereographic projection", su doitpoms.ac.uk.


• Tutorial per realizzare una proiezione stereografica con Gimp, su mora-foto.it.

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